** Points d'intersection

On considère les fonctions  \(f\)  et  \(g\)  définies sur \([-4;6]\)  par \(f(x)=\dfrac{1}{2}x^2(x-3)\)  et  \(g(x)=3(3x-5)\) .

On note \(C_f\)  et \(C_g\)  leurs courbes représentatives dans un repère.

Le but de l'exercice est la recherche du nombre de points d'intersection des courbes \(C_f\)  et \(C_g\) .

1. Conjecture graphique
Sur la calculatrice, choisir une fenêtre d'affichage que l'on précisera pour afficher les deux courbes simultanément, puis formuler une conjecture sur le nombre de points d'intersection entre    \(C_f\)  et \(C_g\) .

2. Avec un tableau de variations
    a. On pose  \(h(x)=x^3-3x^2-18x+30\) . 
Démontrer que déterminer les abscisses des points d'intersection des deux courbes   \(C_f\)  et \(C_g\) , revient à résoudre l'équation \(h(x)=0\) . 
    b. Étudier les variations de \(h\)  sur \([-4;6]\)  et dresser son tableau de variations. Donner des valeurs approchées des images au dixième près.
    c. Par lecture du tableau de variations de  \(h\) , conjecturer le nombre de points d’intersection entre   \(C_f\)  et \(C_g\) . On ne demande pas de déterminer leurs coordonnées. Vérifier la cohérence de votre réponse avec celle obtenue graphiquement.